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奇妙的自然常数e

自然常数e是一个奇妙的数字。在这里，e不仅仅代表一个字母，也是数学中的一个无理常数，大约等于2.1.

但是你有没有想过这是怎么发生的？一个无理数为什么叫“自然常数”？

说到E，我们自然会想到另一个无理常数。通过下图中内接和外切多边形的边长近似值，可以形象地理解的含义。

假设圆的直径为1，其外切多边形和内接多边形的周长可以构成的估计值的上下限。内接多边形和外接多边形的边越多，范围就越窄。只要有足够多的边，范围的上下限就会更接近。

如果的计算很直观，那么E呢？所以这里也用了一个图解的方法来直观的理解e。

首先我们要知道，代表自然基数的符 E是由瑞士数学家、物理学家莱昂哈德欧拉leonardEuler命名的，取的是Euler的第一个字母“E”。

莱昂哈德欧拉17071783年

但事实上，第一个发现这个常数的人不是欧拉本人，而是雅各布伯努利。

伯努利家族

伯努利家族是十八世纪瑞士著名的家族，其中不乏著名的数学科学家。雅可比伯努利是约翰伯努利的兄弟，而约翰伯努利是欧拉的数学老师。简而言之，老板们有着千丝万缕的联系。

理解E的由来，最直观的方法之一就是引入一个经济学名称“复利”。

复利法英文 Compoundinterest是一种计算利息的方法。按照这种方法，利息会按照本金计算，新赚的利息也可以赚取利息，所以俗称“滚利息”、“驴上滚”或“重叠利息”。只要计息周期越近，财富增加越快，期限越长复利效应越明显。3354维基百科

在介绍复利模型之前，先试着看看更基本的指数增长模型。

我们知道，大多数细菌都是通过二分分裂繁殖的，假设某一种细菌每天会分裂一次，即一个生长周期为一天，如下图所示，这意味着每天细菌总数是前一天的两倍。

显然，如果除以x天或x个生长周期，就相当于翻了x倍。在第X天，细菌总数将是最初数量的2倍。如果初始细菌数为1，则X天后的细菌数为2x:

如果初始数量为K，则X天后的细菌数量为K2x:

所以只要保证所有细菌每天分裂一次，不管初始数是多少，最终数都是初始数的2x。所以也可以写成

上式的意思是 第x天，细菌总数是初始细菌数的q倍。

如果把“拆分”或“翻倍”换成更文艺的说法，也可以说是“增长率100%”。那么我们可以把上面的公式写成

当增长率不是100%，而是50%，25%之类的时候，你只需要把上面公式的100%改成你想要的增长率。这样，就可以得到一个更普遍的公式

这个公式的数学内涵是 一个生长周期内的增长率为R，经过X个周期的生长，总量将是初始量的Q倍。

以上是指数增长的一个简单例子。让我们来看看雅各比伯努利的发现

假设你银行里有1元钱。此时出现了严重的通货膨胀，银行的利率已经飙升到了100%为了计算方便而夸大。如果银行一年支付一次利息，自然，一年后你可以得到1元的本金蓝圈和1元的利息绿圈，总共余额两元。

目前银行年利率不变，但为了吸引客户，银行推出了惠民政策，每半年付息一次。然后到第六个月，可以提前从银行拿到0.5元的利息。

明智的，你会立刻把0.5元的利息再次存入银行，这0.5元的利息也会在下一个结算周期产生利息红圈。专业术语叫“复利”，所以年底的存款余额就等于2.25元。

在这一点上，我们可以从另一个角度来看这个问题 即每个结算增长周期为半年，每半年的利率是50%或者说100%2，一年结算两次利息，且第一次结算完后，立马将利息存入。此时我们的计算公式和结果如下

继续，假设现在银行为了和其他银行抢生意，短期不想赚钱了，每四个月就付一次利息！而机智的你依然一拿到利息就立马存入，与半年结算一次利息类似 即，每个结算周期为四个月，每四个月的利率是33.33%或者说100%3，一年结算三次利息，且前两次结算完后，都立马将所有利息存入。

此时计算公式和结果如下

我的天，年利率虽然没有变，但随着每年利息交付次数的增加，你年底能从银行拿到的钱居然也在增加！

那么是不是会一直增大到无穷大呢？想得倒美…

现在假设存款人和银行都疯了，银行在保证年利率为100%的前提下连续不断地付给存款人利息，存款人天天呆在银行不走，拿到利息就往银行里存。这样，所得利息即所谓“连续复利”。

但是，你会发现，似乎有一个“天花板”挡住了你企图靠1块钱疯狂赚取1个亿的小目标，这个“天花板”就是e！

如果，我们进行一系列的迭代运算，我们将看到以下结果

其中，n指的是一年中结算利息的次数。

只要在年利率保持100%不变的情况下，不断地提高利息的结算次数，余额就将会逼近e=2.…

然后，终于可以祭出这个高等数学微积分里计算e的一个重要极限了

现在再回头看这个重要极限，想必会有更加直观的理解。

也就是说，就算银行的年利率是100%，再怎么求银行给你“复利”，年底也不可能得到超过本金e倍的余额。况且，我是没见过哪个银行的年利率是100%。

虽然正常的银行不会推出连续复利这种优惠政策，但在自然界中，大多数事物都处在一种“无意识的连续增长”状态中。对于一个连续增长的事物，如果单位时间的增长率为100%，那么经过一个单位时间后，其将变成原来的e倍。生物的生长与繁殖，就也类似于“利滚利”的过程。

再比如，在等角螺线中

等角螺线

如果用极坐标表示，其通用数学表达式为

其中，a、b为系数，r螺线上的点到坐标原点的距离，θ为转角。这正是一个以自然常数e为底的指数函数。

例如，鹦鹉螺外壳切面就呈现优美的等角螺线

鹦鹉螺外壳

热带低气压的外观也像等角螺线

热带低气压

就连旋涡星系的旋臂都像等角螺线

旋涡星系

或许这也是e被称为“自然常数”的原因吧。当然，自然常数e的奇妙之处还远不止这些，一本书都写不完。

Reference

[1]AnIntuitiveGuideToExponentialFunctions&e,betterexplainedarticlesanintuitiveguidetoexponentialfunctionse

[2]PrehistoricCalculus:DiscoveringPi,betterexplainedarticlesprehistoriccalculusdiscoveringpi

[3]Compoundinterest,en.wikipediawikiCompound_interest

[4]LeonhardEuler,en.wikipediawikiLeonhard_Euler相关问答

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